这是我在暑假期间想到的一个命题。与其说是突发奇想，不如说是学完高一不等式的证明后开拓了我思维的维度，想出了一些奇葩的命题。当然作为一名准高一的学生，这是我第一次在网上发表数学文章，我深知人外有人山外有山，希望大神们看了接下来的证明后如果发现有误或者是有更好的方法请多多指教。话不多说，我开始介绍我的证明思路：

我想把它分为两种情况：

(资料图)

情况一：m为大于1的正整数，这个说了跟没说一样，证明思路很简单，只需把(a+b)^m展开除了a^(m)+b^(m)这两项外还有很多正数项，可以证明大于a^(m)+b^(m)

情况二：m为大于1的有理数，这个情况才是思考的重点，那么首先我把有理数m化成p/q;p,q为正整数且p>q,那么就要证明a^(p/q)+b^(p/q)<(a+b)^(p/q),写在这个上面有点乱，我用图展示

然而a^(p/q)可以写成q次根号下a的p次方，话不多说，上图：

这是七年级幂运算的基础，不了解的可以看看七年级数学教材。

但是问题来了，有理数次方运算不像整数次方那样能展开，有根号，不满足二项式定理，那么强行开方只会导致越来越复杂，且开放次数依据q决定，而q是一个不确定的数，这更给计算增添了难度。我当时在这里卡了很久，列了几张凌乱的草稿最终选择换个思路，如下：

我当时是想将a+b当作整体c，简化计算,那么就要证：

看到这种形式，我瞬间有了灵感，这很像勾股定理的形式：a^2+b^2=c^2，勾股定理可以衍生出很多定理，而有一个定理直接成为解决这个结论的关键：还是对于a^2+b^2=c^2中的正数abc，有a^3+b^3<c^3,写到这里相信大家都有接下来的思路了吧：把特殊归结到一般即可，有了这么多的铺垫与分析，接下来的证明就是“春风得意马蹄疾”~

特殊到一般：

把2变成q,把3变成p,这样离我们的命题得证又进了一步，采用一样的证明思路：设a,b,c为正数，p,q为正整数，且满足p>q,如果a^q+b^q=c^q，那么a^p+b^p<c^p；如果这个命题成立，那么这篇文章的命题就证出来了，只要带换一下即可，如下图：

而a^q,b^q都是正数，满足一开始的定义：“a,b是正实数”，那么a^q,b^q可以看成新的a,b，这个新a,b是任意的正数。这里可能会搞混，那么就把原命题改成“x^(m)+y^(m)<(x+y)^m,x,y为正实数，m为大于1的有理数”,其中x=a^q,y=b^q,由于a,b为正数，q为正整数,那么a^q,b^q就是正数，满足我们的原命题。

但是这一切的前提是“设a,b,c为正数，p,q为正整数，且满足p>q,如果a^q+b^q=c^q，那么a^p+b^p<c^p”这个命题成立，我们接下来就是要把这个命题证明出来：

我是观察到都是q次方，那么就可以同时除以c^q，则右边是1，见下图：

而由于a,b均小于c,则a/c,b/c均小于1，这个结论的证明如下：

回到(a/c)^q+(b/c)^q=1，这个等式，不难发现(a/c)^q，(b/c)^q又可以看成指数函数:f(x)=a^x,对于(a/c)^q，(b/c)^q是0<a<1的情况，其函数图像如下：

当0<a<1时是单调递减的。由于我们定义了：p>q,那么(a/c)^p>(a/c)^q,(b/c)^p>(b/c)^q,那么就有(a/c)^p+(b/c)^p<1，再同时乘上c^p,有：a^p+b^p<c^p，完成了“设a,b,c为正数，p,q为正整数，且满足p>q,如果a^q+b^q=c^q，那么a^p+b^p<c^p”这个命题的证明，这样再回过去就能完整证明出我们的结论了，完整证明过程如下：

这就是我的证明思路，细细想来，确实有些运气的成分。

下期文章我将证明我另一个自创的奇葩命题，敬请期待~

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